Οι μαθηματικές εξισώσεις προσφέρουν μοναδικά παράθυρα στον κόσμο. Βγάζουν νόημα στην πραγματικότητα και μας βοηθούν να δούμε πράγματα που δεν έχουν προσέξει προηγουμένως. Επομένως, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι οι νέες εξελίξεις στα μαθηματικά συχνά συμβαδίζουν με τις εξελίξεις στην κατανόησή μας για το σύμπαν. Εδώ, ρίχνουμε μια ματιά σε εννέα εξισώσεις από την ιστορία που έχουν φέρει επανάσταση στον τρόπο με τον οποίο βλέπουμε τα πάντα, από τα μικροσκοπικά σωματίδια μέχρι τον απέραντο σύμπαν.
Πυθαγόρειο θεώρημα
Ένα από τα πρώτα μεγάλα τριγωνομετρική Οι κανόνες που μαθαίνουν οι άνθρωποι στο σχολείο είναι η σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου: το μήκος καθεμιάς από τις δύο μικρότερες πλευρές στο τετράγωνο και στο άθροισμα ισούται με το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς στο τετράγωνο. Αυτό γράφεται συνήθως ως a^2 + b^2 = c^2, και έχει γίνει γνωστό εδώ και τουλάχιστον 3.700 χρόνια, από την εποχή των αρχαίων Βαβυλωνίων.
Ο Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας πιστώνεται ότι κατέγραψε την εκδοχή της εξίσωσης που χρησιμοποιείται σήμερα, σύμφωνα με την Πανεπιστήμιο του St. Andrews στην Σκωτία. Μαζί με την εύρεση χρήσης στην κατασκευή, την πλοήγηση, τη δημιουργία χαρτών και άλλες σημαντικές διαδικασίες, το Πυθαγόρειο θεώρημα βοήθησε στην επέκταση της ίδιας της έννοιας των αριθμών. Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο μαθηματικός Ιππάσος από το Μεταπόντιο παρατήρησε ότι ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι δύο πλευρές της βάσης είναι μήκους 1 μονάδα θα έχει μια υποτείνουσα που είναι η τετραγωνική ρίζα του 2, που είναι ένας παράλογος αριθμός. (Μέχρι εκείνο το σημείο, κανείς στην καταγεγραμμένη ιστορία δεν είχε συναντήσει τέτοιους αριθμούς.) Για την ανακάλυψή του, ο Ιππάσος λέγεται ότι ρίχτηκε στη θάλασσα, επειδή οι οπαδοί του Πυθαγόρα (συμπεριλαμβανομένου του Ιππάσου) ήταν τόσο ενοχλημένοι από την πιθανότητα αριθμών που συνεχίστηκε για πάντα μετά από μια υποδιαστολή χωρίς επανάληψη, σύμφωνα με άρθρο από το Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ.
F = ma και ο νόμος της βαρύτητας
Ο Βρετανός διαφωτιστής Sir Isaac Newton πιστώνεται με μεγάλο αριθμό ευρήματα που συντρίβουν τον κόσμο. Ανάμεσά τους είναι και το δικό του δεύτερος νόμος της κίνησης, που δηλώνει ότι η δύναμη είναι ίση με τη μάζα ενός αντικειμένου επί την επιτάχυνσή του, συνήθως γραμμένη ως F = ma. Μια επέκταση αυτού του νόμου, σε συνδυασμό με άλλες παρατηρήσεις του Νεύτωνα, τον οδήγησε, το 1687, να περιγράψει αυτό που σήμερα ονομάζεται νόμος του καθολική βαρύτητα. Συνήθως γράφεται ως F = G (m1 * m2) / r^2, όπου m1 και m2 είναι οι μάζες δύο αντικειμένων και r είναι η απόσταση μεταξύ τους. Η G είναι μια θεμελιώδης σταθερά της οποίας η τιμή πρέπει να ανακαλυφθεί μέσω πειραματισμού. Αυτές οι έννοιες έχουν χρησιμοποιηθεί για την κατανόηση πολλών φυσικών συστημάτων έκτοτε, συμπεριλαμβανομένης της κίνησης των πλανητών στο ηλιακό σύστημα και των μέσων για να ταξιδεύουν μεταξύ τους χρησιμοποιώντας πυραύλους.
Η εξίσωση του κύματος
Χρησιμοποιώντας τους σχετικά νέους νόμους του Νεύτωνα, οι επιστήμονες του 18ου αιώνα άρχισαν να αναλύουν τα πάντα γύρω τους. Το 1743, ο Γάλλος πολυμαθής Jean-Baptiste le Rond d’Alembert εξήγαγε μια εξίσωση που περιγράφει τις δονήσεις μιας ταλαντούμενης χορδής ή την κίνηση ενός κύματος, σύμφωνα με μια εργασία που δημοσιεύτηκε το 2020 στο περιοδικό. Προόδους στις Ιστορικές Σπουδές. Η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
1 / v ^ 2 * ∂ ^ 2y / ∂t ^ 2 = ∂ ^ 2y / ∂x ^ 2
Σε αυτή την εξίσωση, v είναι η ταχύτητα ενός κύματος και τα άλλα μέρη περιγράφουν τη μετατόπιση του κύματος προς μία κατεύθυνση. Επεκταμένη σε δύο ή περισσότερες διαστάσεις, η εξίσωση κυμάτων επιτρέπει στους ερευνητές να προβλέψουν την κίνηση του νερού, των σεισμικών και ηχητικών κυμάτων και αποτελεί τη βάση για πράγματα όπως το εξίσωση Schrödinger της κβαντικής φυσικής, η οποία βασίζεται σε πολλά σύγχρονα gadget που βασίζονται σε υπολογιστές.
Οι εξισώσεις του Fourier
Ακόμα κι αν δεν έχετε ακούσει για τον Γάλλο βαρόνο Jean-Baptiste Joseph Fourier, το έργο του έχει επηρεάσει τη ζωή σας. Αυτό συμβαίνει επειδή οι μαθηματικές εξισώσεις που έγραψε το 1822 επέτρεψαν στους ερευνητές να αναλύσουν πολύπλοκα και ακατάστατα δεδομένα σε συνδυασμούς απλών κυμάτων που είναι πολύ πιο εύκολο να αναλυθούν. Σύμφωνα με ένα άρθρο του Yale Scientific. Αλλά οι μετασχηματισμοί Fourier είναι οι κινητήριες δυνάμεις σε πολλούς σύγχρονους τομείς της επιστήμης, συμπεριλαμβανομένης της επεξεργασίας δεδομένων, της ανάλυσης εικόνων, της οπτικής, της επικοινωνίας, της αστρονομίας και της μηχανικής.
Οι εξισώσεις του Maxwell
Ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός ήταν ακόμα νέες έννοιες στη δεκαετία του 1800, όταν οι μελετητές διερεύνησαν πώς να συλλάβουν και να αξιοποιήσουν αυτές τις παράξενες δυνάμεις. Σκωτσέζος επιστήμονας James Clerk Maxwell ενίσχυσε πολύ την κατανόησή μας και για τα δύο φαινόμενα το 1864, όταν δημοσίευσε μια λίστα με 20 εξισώσεις που περιγράφουν πώς ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός λειτουργούσαν και ήταν αλληλένδετοι. Αργότερα, οι εξισώσεις του Maxwell διδάσκονται πλέον σε πρωτοετείς φοιτητές φυσικής στο κολέγιο και αποτελούν τη βάση για οτιδήποτε ηλεκτρονικό στον σύγχρονο τεχνολογικό κόσμο μας.
E = mc^2
Καμία λίστα εξισώσεων μετασχηματισμού δεν θα μπορούσε να είναι πλήρης χωρίς την πιο διάσημη εξίσωση όλων. Πρώτη δήλωση από Albert Einstein το 1905 ως μέρος της πρωτοποριακής του θεωρίας της ειδικής σχετικότητας, ο E = mc^2 έδειξε ότι η ύλη και η ενέργεια ήταν δύο όψεις ενός πράγματος. Στην εξίσωση, το E σημαίνει ενέργεια, το m αντιπροσωπεύει τη μάζα και το c είναι η σταθερή ταχύτητα του φωτός. Οι έννοιες που περιέχονται σε μια τόσο απλή δήλωση είναι ακόμα δύσκολο για πολλούς ανθρώπους να τυλίξουν το μυαλό τους γύρω από το μυαλό τους, αλλά χωρίς E = mc^2, δεν θα καταλάβαμε πώς λειτουργούσαν τα αστέρια ή το σύμπαν ή δεν θα ξέραμε να κατασκευάσουμε γιγάντιους επιταχυντές σωματιδίων όπως οι Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων να διερευνήσει τη φύση του υποατομικού κόσμου.
Οι εξισώσεις του Friedmann
Φαίνεται ύβρις να πιστεύεις ότι μπορείς να δημιουργήσεις ένα σύνολο εξισώσεων που καθορίζουν ολόκληρο τον κόσμο, αλλά αυτό ακριβώς έκανε ο Ρώσος φυσικός Alexander Friedmann τη δεκαετία του 1920. Χρησιμοποιώντας τις θεωρίες της σχετικότητας του Αϊνστάιν, ο Freidmann έδειξε ότι τα χαρακτηριστικά ενός διαστελλόμενου σύμπαντος μπορούσαν να εκφραστούν από τη Μεγάλη Έκρηξη και μετά χρησιμοποιώντας δύο εξισώσεις.
Συνδυάζουν όλες τις σημαντικές πτυχές του σύμπαντος, συμπεριλαμβανομένης της καμπυλότητάς του, πόση ύλη και ενέργεια περιέχει και πόσο γρήγορα διαστέλλεται, καθώς και μια σειρά από σημαντικές σταθερές, όπως η ταχύτητα του φωτός, η σταθερά βαρύτητας και τη σταθερά του Hubble, που αποτυπώνει την επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος. Στον Αϊνστάιν δεν άρεσε η ιδέα ενός σύμπαντος που διαστέλλεται ή συστέλλεται, κάτι που η θεωρία της γενικής σχετικότητας πρότεινε ότι θα συνέβαινε λόγω των επιπτώσεων της βαρύτητας. Αυτός προσπάθησε να προσθέσει μια μεταβλητή στο αποτέλεσμα που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα λάμδα που ενήργησε αντίθετα στη βαρύτητα για να κάνει τον κόσμο στατικό. Ενώ αργότερα το αποκάλεσε το μεγαλύτερο λάθος του, δεκαετίες αργότερα η ιδέα ξεσκονίστηκε και αποδείχθηκε ότι υπάρχει με τη μορφή της μυστηριώδους ουσίας σκοτεινή ενέργεια, που οδηγεί σε μια επιταχυνόμενη διαστολή του σύμπαντος.
Εξίσωση πληροφοριών Shannon
Οι περισσότεροι άνθρωποι είναι εξοικειωμένοι με τα 0 και 1 που αποτελούν τα bits του υπολογιστή. Αλλά αυτή η κριτική ιδέα δεν θα είχε γίνει δημοφιλής χωρίς την πρωτοποριακή δουλειά του Αμερικανού μαθηματικού και μηχανικού Claude Shannon. Σε ένα σημαντικό έγγραφο του 1948, ο Shannon παρουσίασε μια εξίσωση που δείχνει τη μέγιστη απόδοση με την οποία θα μπορούσαν να μεταδοθούν οι πληροφορίες, που συχνά δίνεται ως C = B * 2log (1+S/N). Στον τύπο, C είναι η επιτεύξιμη χωρητικότητα ενός συγκεκριμένου καναλιού πληροφοριών, B είναι το εύρος ζώνης της γραμμής, S είναι η μέση ισχύς σήματος και N είναι η μέση ισχύς θορύβου. (Το S πάνω από το Ν δίνει την περίφημη αναλογία σήματος προς θόρυβο του συστήματος.) Η έξοδος της εξίσωσης είναι σε μονάδες bit ανά δευτερόλεπτο. Στην εργασία του 1948, ο Shannon πιστώνει την ιδέα του bit στον μαθηματικό John W. Tukey ως συντομογραφία της φράσης “δυαδικό ψηφίο”.
Ο λογιστικός χάρτης του May
Πολύ απλά πράγματα μπορούν μερικές φορές να δημιουργήσουν αφάνταστα πολύπλοκα αποτελέσματα. Αυτή η αληθοφάνεια μπορεί να μην φαίνεται τόσο ριζοσπαστική, αλλά χρειάστηκε μέχρι τα μέσα του 20ου αιώνα για να εκτιμήσουν πλήρως οι επιστήμονες το βάρος της ιδέας. Όταν το πεδίο της θεωρίας του χάους απογειώθηκε εκείνη την περίοδο, οι ερευνητές άρχισαν να κατανοούν τους τρόπους με τους οποίους συστήματα με λίγα μόνο μέρη που ανατροφοδοτούνται από τον εαυτό τους μπορεί να παράγουν τυχαία και απρόβλεπτη συμπεριφορά. Ο Αυστραλός φυσικός, μαθηματικός και οικολόγος Ρόμπερτ Μέι έγραψε μια εργασία που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Φύση το 1976, με τίτλο «Απλά μαθηματικά μοντέλα με πολύ περίπλοκη δυναμική», το οποίο έκανε δημοφιλή την εξίσωση xn+1 = k * xn(1 – xn).
Το Xn αντιπροσωπεύει κάποια ποσότητα σε ένα σύστημα την παρούσα στιγμή που ανατροφοδοτεί τον εαυτό του μέσω του τμήματος που ορίζεται από το (1 – xn). Το K είναι μια σταθερά και το xn+1 δείχνει το σύστημα την επόμενη χρονική στιγμή. Αν και αρκετά ξεκάθαρες, διαφορετικές τιμές του k θα παράγουν εξαιρετικά διαφορετικά αποτελέσματα, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων με πολύπλοκη και χαοτική συμπεριφορά. Ο χάρτης του May έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει τη δυναμική του πληθυσμού στα οικολογικά συστήματα και να δημιουργήσει τυχαίους αριθμούς για προγραμματισμό υπολογιστών.